求解二次方程的 3 种方法

二次方程是单个变量中的多项式方程，其中变量的最高指数为 2。求解二次方程主要有三种方法：1) 如果可以的话，对二次方程进行因式分解，2) 使用二次方程公式，或 3) 完成正方形。如果您想知道如何掌握这三种方法，只需按照以下步骤操作即可。

脚步

方法 1 of 3：对方程进行因式分解

步骤 1. 合并所有相似项并将它们移到等式的一侧。

分解方程的第一步是将所有项移到方程的一侧，保持 x2{displaystyle x^{2}}

term positive. To combine the terms, add or subtract all of the x2{displaystyle x^{2}}

terms, the x{displaystyle x}

步骤 2. 对表达式进行因子分解。

term (3), and the factors of the constant term (-4), to make them multiply and then add up to the middle term, (-11). Here's how you do it:

• Since 3x2{displaystyle 3x^{2}}

  only has one set of possible factors, 3x{displaystyle 3x}

  and x{displaystyle x}

  , you can write those in the parenthesis: (3x±?)(x±?)=0{displaystyle (3x\pm ?)(x\pm ?)=0}

• Then, use process of elimination to plug in the factors of 4 to find a combination that produces -11x when multiplied. You can either use a combination of 4 and 1, or 2 and 2, since both of those numbers multiply to get 4. Just remember that one of the terms should be negative, since the term is -4.
• By trial and error, try out this combination of factors (3x+1)(x−4){displaystyle (3x+1)(x-4)}

  . When you multiply them out, you get 3x2−12x+x−4{displaystyle 3x^{2}-12x+x-4}

  . If you combine the terms −12x{displaystyle -12x}

  and x{displaystyle x}

  , you get −11x{displaystyle -11x}

  , which is the middle term you were aiming for. You have just factored the quadratic equation.

• As an example of trial and error, let's try checking a factoring combination for 3x2−11x−4=0{displaystyle 3x^{2}-11x-4=0}

  that is an error (does not work): (3x−2)(x+2){displaystyle (3x-2)(x+2)}

  = 3x2+6x−2x−4{displaystyle 3x^{2}+6x-2x-4}

  . If you combine those terms, you get 3x2−4x−4{displaystyle 3x^{2}-4x-4}

  . Though the factors -2 and 2 do multiply to make -4, the middle term does not work, because you needed to get −11x{displaystyle -11x}

  , not −4x{displaystyle -4x}

步骤 3. 将每组括号设置为零作为单独的方程。

这将引导您找到 x{displaystyle x} 的两个值

that will make the entire equation equal to zero, (3x+1)(x−4){displaystyle (3x+1)(x-4)}

must be zero; so, either (3x + 1) or else (x - 4) must equal zero. So, you would write 3x+1=0{displaystyle 3x+1=0}

and alsox−4=0{displaystyle x-4=0}

步骤 4. 独立求解每个“归零”方程。

在二次方程中，x 有两个可能的值。通过隔离变量并写下 x 的两个解作为最终解，为 x 的每个可能值一一求出 x。以下是您的操作方法：

• 解决 3x + 1 = 0
  • 3x = -1 ….. 通过减法
  • 3x/3 = -1/3 ….. 除以
  • x = -1/3 ….. 简化
• 解决 x - 4 = 0

  x = 4 ….. 通过减去

• x = (-1/3, 4) ….. 通过制作一组可能的、单独的解决方案，这意味着 x = -1/3 或 x = 4 看起来不错。

步骤 5. 在 (3x + 1)(x – 4) = 0 中检查 x = -1/3：

我们有 (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ….. 通过替换 (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ….. 通过简化 (0)(-4 1/3) = 0 ….. 乘以因此 0 = 0 ….. 是的，x = -1/3 有效

步骤 6. 在 (3x + 1)(x - 4) = 0 中检查 x = 4：

我们有 (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ….. 代入 (13)(4 – 4) ?=? 0 ….. 通过简化 (13)(0) = 0 ….. 乘以 0 = 0 ….. 是的，x = 4 有效

因此，两种解决方案都分别进行“检查”，并且对于两种不同的解决方案都验证为有效且正确。

方法 2 of 3：使用二次公式

步骤 1. 合并所有相似项并将它们移到等式的一侧。

将所有项移到等号的一侧，保持 x2{displaystyle x^{2}}

term positive. Write the terms in descending order of degrees, so that the x2{displaystyle x^{2}}

term comes first, followed by the x{displaystyle x}

term and the constant term. Here's how you do it:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

步骤 2. 写出二次公式。

二次公式为：−b±b2−4ac2a{displaystyle {frac {-b\pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

步骤 3. 确定二次方程中 a、b 和 c 的值。

变量 a 是 x 的系数² 项，b 是 x 项的系数，c 是常数。对于方程 3x² -5x - 8 = 0，a = 3，b = -5，c = -8。把这个写下来。

步骤 4. 将 a、b 和 c 的值代入方程。

现在您知道三个变量的值，您可以像这样将它们插入等式：

• {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

第 5 步。做数学。

插入数字后，进行剩余的数学运算以简化正号或负号、乘以或平方剩余项。以下是您的操作方法：

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

步骤 6. 简化平方根。

步骤 7. 解决正面和负面的答案。

如果您已经消除了平方根符号，那么您可以继续下去，直到找到 x 的正负结果。现在你有 (5 +/- 11)/6，你可以写两个选项：

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

步骤 8. 解决正面和负面的答案。

只是做数学：

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

步骤 9. 简化。

为了简化每个答案，只需将它们除以能整除为两个数字的最大数字。将第一个分数除以 2，将第二个分数除以 6，您就得到了 x。

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

方法 3 of 3：完成正方形

步骤 1. 将所有项移到等式的一侧。

确保 a 或 x² 期限为正。以下是您的操作方法：

• 2倍² - 9 = 12x =
• 2倍² - 12x - 9 = 0

  在该等式中，a 项为 2，b 项为 -12，c 项为 -9。

步骤 2. 将 c 项或常数移到另一侧。

常数项是没有变量的数值项。把它移到等式的右边：

• 2倍² - 12x - 9 = 0
• 2倍² - 12x = 9

步骤 3. 两边除以 a 或 x 的系数² 学期。

如果 x² 前面没有项，只有系数为1，可以跳过这一步。在这种情况下，您必须将所有项除以 2，如下所示：

• 2倍²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• X² - 6x = 9/2

Step 4. b 除以二，平方，两边相加。

本例中的 b 项是 -6。以下是您的操作方法：

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• X² - 6x + 9 = 9/2 + 9

步骤 5. 简化双方。

将左侧的项分解为 (x-3)(x-3) 或 (x-3)².将右侧的项相加得到 9/2 + 9，或 9/2 + 18/2，加起来等于 27/2。

步骤 6. 求两边的平方根。

(x-3) 的平方根² 就是 (x-3)。您可以将 27/2 的平方根写为 ±√(27/2)。因此，x - 3 = ±√(27/2)。

步骤 7. 简化根并求解 x。

为了简化 ±√(27/2)，在数字 27 或 2 或其因数中寻找一个完全平方数。完全平方数 9 可以在 27 中找到，因为 9 x 3 = 27。要从部首符号中取出 9，从部首符号中取出数字 9，并将数字 3，即它的平方根，写在部首符号之外。在部首符号下的分数的分子中保留 3，因为 27 的因数不能被取出，而在底部保留 2。然后，将方程左侧的常数 3 向右移动，并写下 x 的两个解：

• x = 3 + 3(√6)/2
• x = 3 - 3(√6)/2)

提示

• 如您所见，激进的标志并没有完全消失。因此，分子中的项不能组合（因为它们不像项）。那么，拆分正负值是没有意义的。取而代之的是，我们将所有公因数分开--但是 只要 如果该因子对两个常数是共同的 和 根的系数。
• 如果平方根下的数字不是完全平方数，则最后几步的运行方式略有不同。下面是一个例子：
• 如果“b”是偶数，则公式为：{-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a。