如何分解三次多项式：12 步（附图片）

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如何分解三次多项式：12 步（附图片）
如何分解三次多项式：12 步（附图片）
Anonim

这是一篇关于如何分解 3 的文章路 度多项式。我们将探讨如何使用分组以及使用自由项的因数进行因式分解。

脚步

第 1 部分（共 2 部分）：按分组分解

因式分解三次多项式步骤 1
因式分解三次多项式步骤 1

步骤 1. 将多项式分成两部分。

将多项式分成两个部分将使您可以单独攻击每个部分。

  • 假设我们正在处理多项式 x3 + 3 倍2 - 6x - 18 = 0. 让我们把它分成 (x3 + 3 倍2) 和 (- 6x - 18)
分解三次多项式步骤 2
分解三次多项式步骤 2

第 2 步。找出每个部分的共同点。

  • 看着 (x3 + 3 倍2)，我们可以看到 x2 常见。
  • 查看 (- 6x - 18)，我们可以看到 -6 是常见的。
因式分解三次多项式步骤 3
因式分解三次多项式步骤 3

步骤 3. 分解这两个术语的共性。

  • 分解 x2 从第一部分，我们得到 x2(x + 3)。
  • 从第二部分中取出 -6，您将得到 -6(x + 3)。
因式分解三次多项式步骤 4
因式分解三次多项式步骤 4

第 4 步。如果两个项中的每一项都包含相同的因子，则可以将这些因子组合在一起。

  • 这给你 (x + 3)(x2 - 6).
因式分解三次多项式步骤 5
因式分解三次多项式步骤 5

第 5 步。通过查看根找到解决方案。

如果你有一个 x2 在你的根中，记住负数和正数都满足这个等式。

解是-3、√6 和-√6。

第 2 部分（共 2 部分）：使用自由项进行因式分解

因式分解三次多项式步骤 6
因式分解三次多项式步骤 6

步骤 1. 重新排列表达式，使其为 ax 的形式3+bx2+cx+d。

  • 假设您正在处理以下等式：x3 - 4 倍2 - 7x + 10 = 0。
因式分解三次多项式步骤 7
因式分解三次多项式步骤 7

Step 2. 找出“d”的所有因数。

常量“d”将是没有任何变量的数字，例如旁边的“x”。

因子是您可以相乘得到另一个数字的数字。在您的情况下，10 的因数或“d”是：1、2、5 和 10。

因式分解三次多项式步骤 8
因式分解三次多项式步骤 8

步骤 3. 找出使多项式为零的一个因素。

当我们为方程中的每个“x”替换因子时，我们想确定哪个因子使多项式为零。

  • 首先使用您的第一个因子，1. 将等式中的每个“x”替换为“1”：

    (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0

  • 这给你：1 - 4 - 7 + 10 = 0。
  • 因为 0 = 0 是一个真命题，所以你知道 x = 1 是一个解。
因式分解三次多项式步骤 9
因式分解三次多项式步骤 9

第 4 步。 稍微重新排列一下。

如果 x = 1，您可以重新排列语句以使其看起来有点不同，而不会改变它的含义。

"x = 1" 与 "x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 相同。你刚刚从等式的每一边减去一个“1”。

因式分解三次多项式步骤 10
因式分解三次多项式步骤 10

步骤 5. 将您的根从等式的其余部分中分解出来。

“(x - 1)”是我们的根。看看你是否可以把它从等式的其余部分中分解出来。一次取一个多项式。

  • 你能从 x 中分解出 (x - 1)3?不，你不能。但是你可以借一个 -x2 来自第二个变量；然后分解它：x2(x - 1) = x3 - X2.
  • 你能从第二个变量的剩余部分中分解出 (x - 1) 吗？不，你又不能。您需要从第三个变量中再借一点。你需要从 -7x 借一个 3x。这给你 -3x(x - 1) = -3x2 + 3 倍。
  • 由于您从 -7x 中提取了 3x，因此我们的第三个变量现在是 -10x，而我们的常数是 10。您能将其分解吗？你可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。
  • 您所做的是重新排列变量，以便您可以从整个等式中分解出 (x - 1)。您重新排列的等式如下所示：x3 - X2 - 3倍2 + 3x - 10x + 10 = 0，但它仍然与 x 相同3 - 4 倍2 - 7x + 10 = 0。
因式分解三次多项式步骤 11
因式分解三次多项式步骤 11

步骤 6 继续代入自由项的因子。

查看您在步骤 5 中使用 (x - 1) 分解出的数字：

  • X2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. 你可以重新排列这个更容易再分解一次：(x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0。
  • 你只是想分解 (x2 - 3x - 10) 在这里。这将分解为 (x + 2)(x - 5)。
因式分解三次多项式步骤 12
因式分解三次多项式步骤 12

第 7 步。您的解将是因式根。

您可以通过将每个解决方案单独插入到原始方程中来检查您的解决方案是否确实有效。

  • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 这给出了 1、-2 和 5 的解。
  • 将 -2 代入方程：(-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
  • 将 5 代入方程：(5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

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提示

  • 三次多项式是三个一阶多项式的乘积或一个一阶多项式与另一个不可分解的二阶多项式的乘积。在最后一种情况下，您在找到一次多项式后使用长除法来获得二次多项式。
  • 实数上没有不可分解的三次多项式，因为每个三次都必须有一个实根。具有无理实根的三次方（例如 x^3 + x + 1）不能分解为具有整数或有理系数的多项式。虽然它可以用三次公式分解，但它是不可约的整数多项式。

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