计算圆面积的 4 种方法

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计算圆面积的 4 种方法
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视频: 计算圆面积的 4 种方法

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视频: 21 3 圆的面积 小學數學六年級 2023, 十月
Anonim

几何类中的一个常见问题是让您根据提供的信息计算圆的面积。你需要知道求圆面积的公式，A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

. The formula is simple and only needs the radius of the circle to find its area. However, you also need to practice converting some other bits of provided data into terms that can help you use this formula.

Steps

Method 1 of 4: Using Radius to Find Area

计算圆的面积步骤 1
计算圆的面积步骤 1

步骤 1. 确定圆的半径。

半径是从圆心到圆边的长度。您可以在任何方向进行测量，并且半径将相同。半径也是圆直径的二分之一。直径是通过圆心并连接圆的对边的线段。

  • 半径通常会提供给您。很难测量到圆的确切中心，除非已经在纸上绘制的圆上为您标记了中心。
  • 对于此示例，假设您被告知给定圆的半径为 6 厘米。
计算圆的面积步骤 2
计算圆的面积步骤 2

步骤 2. 平方半径。

求圆面积的公式是 A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

where the r{displaystyle r}

variable represents the radius. This variable is squared.

  • Do not get confused and square the entire equation.

  • For the sample circle with radius, r=6{displaystyle r=6}

    then r2=36{displaystyle r^{2}=36}

计算圆的面积步骤 3
计算圆的面积步骤 3

步骤 3. 乘以 pi。

Pi，用希腊字母 π{displaystyle \pi } 象征性地书写

is a mathematical constant that represents the ratio between the circumference and the diameter of the circle. As a decimal approximation, π{displaystyle \pi }

is approximately 3.14. The true decimal value continues on infinitely. For an exact statement of the area of a circle, you will usually report your answer using the symbol π{displaystyle \pi }

itself.

  • For the given example with a radius of 6 cm, the area is calculated as:

    • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}
    • A=π62{displaystyle A=\pi 6^{2}}

    • A=36π{displaystyle A=36\pi }

      or A=36(3.14)=113.04{displaystyle A=36(3.14)=113.04}

计算圆的面积步骤 4
计算圆的面积步骤 4

第 4 步。报告您的结果。

请记住，面积的计算将以“平方”单位报告。如果半径以厘米为单位测量，则面积将以平方厘米为单位。如果半径以英尺为单位测量，则面积将以平方英尺为单位。您还应该知道是否使用符号 π{displaystyle \pi } 报告您的结果

or the numerical approximation. If you do not know, then report both.

  • For the sample circle with a radius of 6 cm, the area will be either 36π{displaystyle \pi }

    cm2 or 113.04 cm2.

Method 2 of 4: Calculating Area from the Diameter

计算圆的面积 步骤 5
计算圆的面积 步骤 5

步骤 1. 测量或记录直径。

某些问题或情况不会为您提供半径。相反，您可能会得到一个圆的直径。如果直径被绘制到你的图表中，你可以用尺子测量它。或者，您可能只会被告知直径的值。

假设在这个例子中你的圆的直径是 20 英寸。

计算圆的面积 步骤 6
计算圆的面积 步骤 6

步骤 2. 将直径一分为二。

请记住，直径等于半径的两倍。因此，无论您为直径指定什么值，将其切成两半，您将获得半径。

因此，直径为 20 英寸的示例圆的半径为 20/2，即 10 英寸。

计算圆的面积 步骤 7
计算圆的面积 步骤 7

步骤 3. 使用面积的原始公式。

将直径转换为半径后，您就可以使用公式 A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

to calculate the area of the circle. Insert the value for the radius and perform the remaining calculations as follows:

  • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}
  • A=π102{displaystyle A=\pi 10^{2}}
  • A=100π{displaystyle A=100\pi }
计算圆的面积 步骤 8
计算圆的面积 步骤 8

步骤 4. 报告该地区的价值。

回想一下，您的面积将以平方为单位进行报告。在此示例中，直径以英寸为单位测量，因此半径以英寸为单位。因此，面积将以平方英寸报告。对于此示例，面积将为 100π{displaystyle 100\pi }

sq. in.

  • You can also provide the numerical approximation by multiplying by 3.14 instead of π{displaystyle \pi }

    . This will give a result of (100)(3.14) = 314 sq. in.

EXPERT TIP

Grace Imson, MA
Grace Imson, MA

Grace Imson, MA

Math Instructor, City College of San Francisco Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Grace Imson, MA

Grace Imson, MA

Math Instructor, City College of San Francisco

The most common error when using diameter is forgetting to square the denominator

If you don't divide the diameter by 2 to find the radius, you can still find the area of the circle. However, you need to change the formula so that you square the 'd' otherwise your answer will be wrong.

Method 3 of 4: Using Circumference to Calculate Area

计算圆的面积 步骤 9
计算圆的面积 步骤 9

步骤 1. 学习修改后的公式。

如果您知道圆的周长，则可以使用圆面积公式的修订版。这个修改后的公式直接使用圆周而不是半径来求面积。这个新公式是：

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}
计算圆的面积步骤 10
计算圆的面积步骤 10

步骤 2. 测量或记录周长。

在某些实际情况下，您可能无法准确测量直径或半径。如果未为您绘制直径或未确定圆心，则可能难以近似圆心。对于某些物理圆--例如比萨平底锅或煎锅--您可以使用卷尺测量周长比测量直径更准确。

对于此示例，假设您已被告知或已测量圆（或圆形物体）的周长为 42 厘米。

计算圆的面积步骤 11
计算圆的面积步骤 11

Step 3. 利用周长与半径的关系修正公式。

圆的周长等于 pi 乘以直径。这可以写成 C=πd{displaystyle C=\pi d}

. Then, recall that the diameter is equal to twice the radius, or d=2r{displaystyle d=2r}

. You can combine these two equalities to create the following relationship: C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}

. Rearrange this to isolate the variable r{displaystyle r}

by itself, as follows:

  • C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}

  • C2π=r{displaystyle {frac {C}{2\pi }}=r}

    ….. (divide both sides by 2π{displaystyle \pi }

    )

计算圆的面积步骤 12
计算圆的面积步骤 12

步骤 4. 代入圆面积的公式。

您可以使用圆周和半径之间的这种关系为圆的面积创建公式的修改版本。将这个最新的等式代入原来的面积公式，如下：

  • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

    …..(original area formula)

  • A=π(C2π)2{displaystyle A=\pi ({frac {C}{2\pi }})^{2}}

    ….. (substitute equality for r)

  • A=π(C24π2){displaystyle A=\pi ({frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})}

    …..(square the fraction)

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}

    …..(cancel π{displaystyle \pi }

    in numerator and denominator)

计算圆的面积步骤 13
计算圆的面积步骤 13

步骤 5. 使用修改后的公式求解该区域。

使用这个修改后的公式，用圆周代替半径，您可以使用给定的信息直接找到面积。插入周长值并执行如下计算：

  • 对于这个例子，你得到了 C=42{displaystyle C=42}

    inches.

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}

  • A=4224π{displaystyle A={frac {42^{2}}{4\pi }}}

    …..(insert value)

  • A=17644π{displaystyle A={frac {1764}{4\pi }}}

    .….(calculate 422)

  • A=441π{displaystyle A={frac {441}{pi }}}

    …..(divide by 4)

计算圆的面积步骤 14
计算圆的面积步骤 14

步骤 6. 报告您的结果。

除非你被告知周长是 π{displaystyle \pi } 的倍数

then your result is likely to be a fraction with π{displaystyle \pi }

in the denominator. There is nothing wrong with this. You should report your area calculation in that term, or you may approximate it by dividing by 3.14.

  • For this sample circle, with a circumference given as 42 cm, the area is 441π{displaystyle {frac {441}{pi }}}

    sq. cm.

  • If you approximate, 441π=4413.14=140.4{displaystyle {frac {441}{pi }}={frac {441}{3.14}}=140.4}

    . The area is approximately equal to 140 sq. cm.

Method 4 of 4: Finding Area from a Sector of the Circle

计算圆的面积步骤 15
计算圆的面积步骤 15

步骤 1. 识别已知或给定的信息。

在某些问题中，您可能会被告知有关圆的一部分的信息，然后要求您找到整个圆的面积。仔细阅读问题并寻找类似这样的信息：“O 的一个扇区的面积为 15π{displaystyle \pi }

cm2. Find the area of Circle O.”

计算圆的面积 第 16 步
计算圆的面积 第 16 步

步骤 2. 定义所选扇区。

圆的扇形部分有时也称为“楔形”。一个扇区是通过从圆的中心向外画两个半径来定义的。这两个半径之间的空间是扇区。

计算圆的面积步骤 17
计算圆的面积步骤 17

步骤 3. 测量扇形的中心角。

使用量角器测量由两个半径形成的中心角。沿半径之一设置量角器的底边，使量角器的中心点与圆心对齐。然后读取与形成扇区的第二个半径的位置相对应的角度测量值。

  • 确保您知道您是在测量两个半径之间的小角度还是它们之外的更大角度。您正在处理的问题应该为您定义这一点。小角和大角之和为 360 度。
  • 在某些问题中，问题可能只是告诉您测量结果，而不是让您测量中心角。例如，您可能会被告知“扇区的中心角是 45 度”，或者您可能需要测量它。
计算圆的面积 第 18 步
计算圆的面积 第 18 步

步骤 4. 使用修改后的面积公式。

当您知道一个扇区的面积及其中心角测量值时，您可以使用以下修改后的公式来计算圆的面积：

  • Acir=Asec360C{displaystyle A_{cir}=A_{sec}{frac {360}{C}}}

    • Acir{displaystyle A_{cir}}

      is the area of the full circle

    • Asec{displaystyle A_{sec}}

      is the area of the sector

    • C{displaystyle C}

      is the central angle measure

计算圆的面积步骤 19
计算圆的面积步骤 19

步骤 5. 输入您知道的值并求解该区域。

在这个例子中，你被告知圆心角是 45 度，扇形的面积是 15π{displaystyle \pi }

. Insert these into this formula and solve as follows:

  • Acir=Asec360C{displaystyle A_{cir}=A_{sec}{frac {360}{C}}}
  • Acir=15π36045{displaystyle A_{cir}=15\pi {frac {360}{45}}}
  • Acir=15π(8){displaystyle A_{cir}=15\pi (8)}
  • Acir=120π{displaystyle A_{cir}=120\pi }
计算圆的面积步骤 20
计算圆的面积步骤 20

步骤 6. 报告结果。

在这个例子中，扇区是整个圆的八分之一。因此，整个圆的面积是 120π{displaystyle \pi }

cm2. Since the sector's area was given in terms of π{displaystyle \pi }

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