如何手工计算平方根（附图片）

2023 作者: Virginia Parson | [email protected]. 上一次更改: 2023-08-04 04:53

在没有计算器的日子里，学生和教授都必须手工计算平方根。已经发展出几种不同的方法来处理这个令人生畏的过程，一些给出粗略的近似值，另一些给出精确的值。要了解如何仅使用简单的运算求出数字的平方根，请参阅下面的第 1 步开始。

脚步

方法 1 of 2：使用质因数分解

步骤 1. 将您的数字划分为完全平方因数。

此方法使用数字的因数来计算数字的平方根（取决于数字，这可以是精确的数字答案或近似估计）。一个数的因数是任何一组相乘得到的其他数。例如，您可以说 8 的因数是 2 和 4，因为 2 × 4 = 8。另一方面，完全平方是其他整数的乘积的整数。例如，25、36 和 49 是完全平方数，因为它们是 5², 6², 和 7²，分别。正如您可能已经猜到的那样，完全平方因数也是完全平方数的因数。要开始通过质因数分解找到平方根，首先，尝试将您的数字减少为其完美的平方因数。

让我们举一个例子。我们想手动找到 400 的平方根。首先，我们将数字划分为完美的平方因数。由于 400 是 100 的倍数，我们知道它可以被 25 整除 - 一个完美的正方形。快速的精神分裂让我们知道 25 进入 400 16 次。 16，巧合的是，也是一个完美的正方形。因此，400 的完美平方因数是 25 和 16 因为 25 × 16 = 400。
我们将其写为： Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)

步骤 2. 取完美平方因数的平方根。

平方根的乘积性质表明，对于任何给定的数字 a 和 b，Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b)。由于这个性质，我们现在可以取我们的完美平方因子的平方根并将它们相乘得到我们的答案。

在我们的示例中，我们将取 25 和 16 的平方根。见下文：
- 平方（25 × 16）
- 平方(25) × 平方(16)
- 5 × 4 =
  
  步骤 20。

第 3 步。如果您的数字不能完美分解，请将您的答案简化为最简单的术语。

在现实生活中，通常情况下，您需要求平方根的数字不会是具有明显完美平方因数（如 400）的整数。在这些情况下，可能无法找到准确的答案一个整数。相反，通过尽可能找到任何完美的平方因数，您可以根据更小、更简单、更易于管理的平方根找到答案。为此，请将您的数字减少到完美平方因数和非完美平方因数的组合，然后进行简化。

我们以 147 的平方根为例。 147 不是两个完美平方的乘积，因此我们无法得到上述的精确整数值。然而，它是一个完全平方数和另一个数 - 49 和 3 的乘积。我们可以使用这些信息以最简单的方式写出我们的答案如下：
- 平方(147)
- = 平方（49 × 3）
- = 平方(49) × 平方(3)
- = 7 × 平方(3)

步骤 4. 估计（如有必要）。

用最简单的方式计算平方根，通常很容易通过猜测任何剩余平方根的值并相乘来粗略估计数字答案。指导估计的一种方法是在平方根中的数字两侧找到完美的平方。您会知道平方根中数字的十进制值介于这两个数字之间，因此您可以在它们之间进行猜测。

让我们回到我们的例子。从 2² = 4 和 1² = 1，我们知道 Sqrt(3) 介于 1 和 2 之间 - 可能更接近 2 而不是 1。我们将估计为 1.7。 7 × 1.7 = 11.9 如果我们在计算器中检查我们的工作，我们可以看到我们非常接近实际答案 12.13.
- 这也适用于更大的数字。例如，Sqrt(35) 可以估计在 5 到 6 之间（可能非常接近 6）。 5² = 25 和 6² = 36。35在25到36之间，所以它的平方根一定在5到6之间。因为35离36只有一个，我们可以有把握地说它的平方根刚好小于6。用计算器查一下就知道了我们的答案约为 5.92 - 我们是对的。

第 5 步。作为第一步，将您的数字减少到最低的公因数。

如果您可以轻松确定一个数的质因数（也是质数的因数），则不需要寻找完美的平方因数。根据最低公因数写出你的数字。然后，在您的因子中寻找匹配的素数对。当您找到两个匹配的质因数时，从平方根中删除这两个数字，并将这些数字之一放在平方根之外。

例如，让我们使用此方法求 45 的平方根。我们知道 45 = 9 × 5 并且我们知道 9 = 3 × 3。因此，我们可以根据它的因子写出平方根，如下所示：Sqrt(3 × 3 × 5)。只需删除 3 并在平方根外放一个 3 就可以用最简单的方式得到平方根： (3)平方(5)。

从这里，很容易估计。
作为最后一个示例问题，让我们尝试找到 88 的平方根：
- 平方(88)
- = 平方（2 × 44）
- = 平方（2 × 4 × 11）
- = 平方（2 × 2 × 2 × 11）。我们的平方根中有几个 2。由于 2 是素数，我们可以删除一对并将一个放在平方根之外。
- = 用最简单的术语来说，我们的平方根是 (2) Sqrt(2 × 11) 或 (2) 平方(2) 平方(11)。
  
  从这里，我们可以估计 Sqrt(2) 和 Sqrt(11) 并根据需要找到近似答案。

方法 2 of 2：手动求平方根

使用长除法算法

步骤 1. 将您的号码的数字分成对。

此方法使用类似于长除法的过程逐位求出精确的平方根。虽然这不是必需的，但您可能会发现，如果您直观地将工作区和编号组织成可行的块，则执行此过程是最容易的。首先，画一条垂直线将您的工作区分成两个部分，然后在右侧部分顶部附近绘制一条较短的水平线，将右侧部分分成较小的上部和较大的下部。接下来，从小数点开始，将您的数字的数字分成对。例如，按照这个规则，79, 520, 789, 182.47897 变成“7 95 20 78 91 82. 47 89 70”。在左侧空格的顶部写下您的号码。

例如，让我们尝试计算 780.14 的平方根。画两条线来划分您的工作区，并在左侧空间的顶部写上“7 80. 14”。没关系。最左边的块是一个单独的数字，而不是一对数字。您将在右上角的空白处写下您的答案（780.14 的平方根）。

步骤 2. 找出平方小于或等于最左边数字（或对）的最大整数 n。

从您的号码最左边的“块”开始，无论这是一对还是单个号码。找到小于或等于这个块的最大完美平方，然后取这个完美平方的平方根。这个数字是 n 。在右上角写n，在右下象限写n的平方。

在我们的例子中，最左边的“块”是数字 7。因为我们知道 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9，我们可以说n = 2，因为它是平方小于或等于7的最大整数。在右上象限写2。这是我们答案的第一个数字。在右下象限写 4（2 的平方）。这个数字在下一步中很重要。

步骤 3. 从最左边的一对中减去您刚刚计算的数字。

与长除法一样，下一步是从我们刚刚分析的块中减去我们刚刚找到的正方形。在第一个块下面写下这个数字并减去，在下面写下你的答案。

在我们的示例中，我们将在 7 的下方写出 4，然后减去。这给了我们一个答案

第 3 步。.

步骤 4. 放下下一对。

将您正在求解其平方根的数字中的下一个“块”向下移动到您刚刚找到的减去值旁边。接下来将右上象限中的数字乘以 2，然后将其写在右下象限中。在你刚刚写下的数字旁边，通过写下'"_×_="'为下一步要做的乘法问题留出空间。

在我们的示例中，我们号码中的下一对是“80”。在左象限的 3 旁边写上“80”。接下来，将右上角的数字乘以 2。这个数字是 2，所以 2 × 2 = 4。在右下象限写“'4”'，然后是 _×_=.

步骤 5. 填写右象限的空白处。

您必须用相同的整数填充刚刚在右象限中写入的每个空格。这个整数必须是允许右象限乘法问题的结果小于或等于左边当前数的最大整数。

在我们的例子中，用 8 填充空格，得到 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384。这大于 380。因此，8 太大了，但 7 可能会起作用。在空白处写 7 并求解：4(7) × 7 = 329。7 检出，因为 329 小于 380。在右上象限写 7。这是 780.14 的平方根中的第二个数字。

步骤 6. 从左边的当前数字中减去刚刚计算的数字。

继续长除法式减法链。取右象限乘法问题的结果，从左边的当前数字中减去它，在下面写下你的答案。

在我们的示例中，我们将从 380 中减去 329，得到 51.

步骤 7. 重复步骤 4。

删除您正在寻找向下平方根的数字的下一部分。当您到达数字的小数点时，在右上象限的答案中写一个小数点。然后，将右上角的数字乘以 2，并将其写在上面的空白乘法问题（“_ × _”）旁边。

在我们的例子中，由于我们现在遇到了 780.14 中的小数点，在我们当前答案的右上角写一个小数点。接下来，将下一对 (14) 放在左象限中。右上角（27）的两倍是54，所以在右下象限写“54 _×_=”。

步骤 8. 重复步骤 5 和 6。

找出答案小于或等于左边当前数字的最大数字填入右边的空白处。然后，解决问题。

在我们的示例中，549 × 9 = 4941，小于或等于左边的数字 (5114)。 549 × 10 = 5490，太高了，所以我们的答案是 9。写 9 作为右上象限的下一个数字，并从左边的数字中减去乘法的结果：5114 减去 4941 是 173。

步骤 9. 继续计算位数。

在左侧放置一对零，然后重复步骤 4、5 和 6。为了提高准确性，请继续重复此过程以找到答案中的第 100、100 等位置。继续执行此循环，直到找到所需小数位的答案。

了解过程

步骤 1. 将要计算平方根的数字视为正方形的面积 S。

因为正方形的面积是L² 其中 L 是其中一条边的长度，因此，通过尝试找到您的数字的平方根，您正在尝试计算该正方形边的长度 L。

步骤 2. 为答案的每个数字指定字母变量。

将变量 A 指定为 L 的第一个数字（我们要计算的平方根）。 B 将是它的第二个数字，C 将是它的第三个数字，依此类推。

步骤 3. 为起始号码的每个“块”指定字母变量。

分配变量 S_一种到 S 中的第一对数字（您的起始值），S_乙第二对数字等。

步骤 4. 了解此方法与长除法的联系。

这种求平方根的方法本质上是一个长除法问题，它将您的起始数字除以其平方根，从而给出其平方根作为答案。就像在长除法问题中，您一次只对下一位感兴趣，在这里，您一次对接下来的两位感兴趣（一次对应于平方根的下一位））。

步骤 5. 找到平方小于或等于 S 的最大数_一种.

我们答案中的第一个数字 A 是平方不超过 S 的最大整数_一种（意思是 A 使得 A² ≤ Sa < (A+1)²）。在我们的例子中，S_一种 = 7，并且 2² ≤ 7 < 3²，所以 A = 2。

请注意，例如，如果您想通过长除法将 88962 除以 7，第一步将类似：您将查看 88962 (8) 的第一个数字，并且您需要最大的数字，当乘以7, 小于或等于 8。本质上，你要找到 d 使得 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)。在这种情况下，d 将等于 1。

步骤 6. 可视化您开始求解其面积的正方形。

你的答案，你的起始数字的平方根，是 L，它描述了面积为 S（你的起始数字）的正方形的长度。 A、B、C 的值代表值 L 中的数字。另一种说法是，对于两位数的答案，10A + B = L，而对于三位数的答案，100A +10B + C = L，依此类推。

在我们的例子中， (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B².请记住，10A+B 代表我们的答案 L，其中 B 位于单位位置，A 位于十位位置。例如，当 A=1 和 B=2 时，10A+B 就是数字 12。 (10A+B)² 是整个正方形的面积，而 100A² 里面最大的广场的面积， B² 是最小正方形的面积，并且 10A×B 是剩下的两个矩形中每个矩形的面积。通过执行这个漫长而复杂的过程，我们通过将其中的正方形和矩形的面积相加来找到整个正方形的面积。

步骤 7. 从 S 中减去 A²_一种.

掉一对 (S_乙) 来自 S. S 的数字_一种秒_乙几乎是正方形的总面积，您只是从中减去较大的内部正方形的面积。余数可以看作是我们在步骤 4 中获得的数字 N1（在我们的示例中，N1 = 380）。 N1 等于 2×10A×B + B²（两个长方形的面积加上小正方形的面积）。

步骤 8. 寻找 N1 = 2×10A×B + B²，也写作 N1 = (2×10A + B) × B。

在我们的例子中，你已经知道 N1 (380) 和 A (2)，所以你需要找到 B。B 很可能不是一个整数，所以你实际上必须找到最大的整数 B，使得 (2×10A + B) × B ≤ N1。所以，你有： N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

步骤 9. 解决。

要解这个方程，将 A 乘以 2，将其移到十位的位置（相当于乘以 10），将 B 放在单位的位置，然后将结果乘以 B。换句话说，求解(2×10A + B) × B。这正是你在第4步右下象限写“N_×_=”（N=2×A）时所做的。在第5步，你找到最大的适合下划线的整数 B 使得 (2×10A + B) × B ≤ N1。

步骤 10. 从总面积中减去面积 (2×10A + B) × B。

这为您提供了尚未计算的面积 S-(10A+B)²（并将用于以类似方式计算下一个数字）。

第 11 步。要计算下一个数字 C，请重复该过程。

丢弃下一对 (S_C) 从 S 得到左边的 N2，并寻找最大的 C，所以你有 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2（相当于写两倍的两位数“AB”后跟“_×_=”。像以前一样，寻找能给出小于或等于 N2 答案的空白处的最大数字。

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提示

在这个例子中，1.73 可以被认为是一个“余数”：780.14 = 27.9² + 1.73。
此方法适用于任何基数，而不仅仅是基数 10（十进制）。
将数字中的小数点移动两位数（100 的因数），将小数点的平方根移动一位数（10 的因数）。
无论如何，您都可以随意展示微积分。有些人将结果写在起始数字上方。
使用连分数的另一种方法可以遵循以下公式：√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …)))。比如计算780.14的平方根，平方最接近780.14的整数是28，所以z=780.14，x=28，y=-3.86。将估计插入并携带到仅 x + y/(2x) 已经产生（以最低的形式）78207/2800 或大约 27.931(1)；下一学期，4374188/156607 或大约 27.930986(5)。每一项都比前一项增加近 3 位小数的精度。

警告

请务必将数字与小数点分开成对。将 79、520、789、182.47897 分隔为“79 52 07 89 18 2.4 78 97" 将产生一个无用的数字。

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